Упр.779 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 779. Известно, что числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию, а числа a+b, b+c, c+a образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель данной геометрической прогрессии.

Пусть $$a,\ b,\ c$$ — члены геометрической прогрессии. Тогда можно записать:

$$a=b_1,\quad b=b_1q,\quad c=b_1q^2.$$

Так как числа $$a+b,\ b+c,\ c+a$$ образуют арифметическую прогрессию, то средний член равен полусумме соседних:

$$2(b+c)=(a+b)+(c+a).$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$2(b_1q+b_1q^2)=(b_1+b_1q^2)+(b_1q^2+b_1).$$

Упростим:

$$2q+2q^2=2+2q^2,$$

$$2q=2,$$

$$q=1.$$

Однако при таком подходе нужно учесть, что условие арифметической прогрессии можно записать и в виде:

$$2(b+c)=(a+b)+(c+a),$$

то есть

$$2b+2c=2a+b+c,$$

$$c+b-2a=0.$$

Подставим $$a=b_1,\ b=b_1q,\ c=b_1q^2$$:

$$b_1q^2+b_1q-2b_1=0,$$

$$q^2+q-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$q^2+q-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$q=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Получаем:

$$q_1=1,\quad q_2=-2.$$

Значение $$q=1$$ соответствует постоянной прогрессии, а в общем случае знаменатель геометрической прогрессии может быть равен $$-2$$ или $$1$$.

Ответ

$$-2;\ 1$$