Упр.778 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что при любых $$a$$, $$b$$ и $$c$$ уравнение $$(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0$$ имеет корни.
2. Докажите, что если последовательность $$(b_n)$$ является геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$, не равным $$1$$, то последовательность $$(x_n)$$, где $$x_n=b_{n+1}-b_n$$, также является геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$.

Пусть $$b_n$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$, $$q \ne 1$$. Тогда

$$b_n=b_1q^{\,n-1}, \qquad b_{n+1}=b_1q^n, \qquad b_{n+2}=b_1q^{n+1}.$$

По условию

$$x_n=b_{n+1}-b_n,$$

значит

$$x_n=b_1q^n-b_1q^{n-1}=b_1q^{n-1}(q-1).$$

Найдём следующий член:

$$x_{n+1}=b_{n+2}-b_{n+1}=b_1q^{n+1}-b_1q^n=b_1q^n(q-1).$$

Тогда отношение соседних членов равно

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{b_1q^n(q-1)}{b_1q^{n-1}(q-1)}=q.$$

Следовательно, последовательность $$x_n$$ является геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$.

Ответ

Последовательность $$x_n=b_{n+1}-b_n$$ является геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$.