Упр.778 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 778. Докажите, что если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией со знаменателем q, не равным 1, то последовательность (x_n), где x_n=b_(n+1)-b_n, также является геометрической прогрессией со знаменателем q.

Пусть $$b_n$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$, $$q \ne 1$$. Тогда

$$b_n=b_1q^{\,n-1}, \qquad b_{n+1}=b_1q^n, \qquad b_{n+2}=b_1q^{n+1}.$$

По условию

$$x_n=b_{n+1}-b_n,$$

значит

$$x_n=b_1q^n-b_1q^{n-1}=b_1q^{n-1}(q-1).$$

Найдём следующий член:

$$x_{n+1}=b_{n+2}-b_{n+1}=b_1q^{n+1}-b_1q^n=b_1q^n(q-1).$$

Тогда отношение соседних членов равно

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{b_1q^n(q-1)}{b_1q^{n-1}(q-1)}=q.$$

Следовательно, последовательность $$x_n$$ является геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$.

Ответ

Последовательность $$x_n=b_{n+1}-b_n$$ является геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$.