Упр.777 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 777. Геометрическая прогрессия состоит из 12 членов, являющихся положительными числами. Сумма первых четырёх членов равна 7680, а сумма четырёх следующих равна 480. Найдите сумму последних четырёх членов этой последовательности.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$, где $$q>0$$.

Тогда сумма первых четырёх членов:

$$b_1+b_2+b_3+b_4=b_1(1+q+q^2+q^3)=7680.$$

Сумма четырёх следующих членов:

$$b_5+b_6+b_7+b_8=b_1q^4(1+q+q^2+q^3)=480.$$

Разделим второе равенство на первое:

$$q^4=\frac{480}{7680}=\frac{1}{16},$$

откуда

$$q=\frac{1}{2}.$$

Теперь найдём сумму последних четырёх членов:

$$b_9+b_{10}+b_{11}+b_{12}=b_1q^8(1+q+q^2+q^3).$$

Так как $$b_1(1+q+q^2+q^3)=7680$$, то

$$b_9+b_{10}+b_{11}+b_{12}=7680\cdot q^8.$$

Подставим $$q=\frac{1}{2}$$:

$$7680\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8=7680\cdot \frac{1}{256}=30.$$

Ответ

30