Упр.776 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 776. Найдите четыре числа, составляющие возрастающую геометрическую профессию, если известно, что разность между четвёртым и первым членами равна 744, а разность между третьим и вторым членами равна 120.

Пусть четыре числа геометрической прогрессии равны $$b_1, b_2, b_3, b_4$$, а её знаменатель равен $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_4-b_1=744,\qquad b_3-b_2=120.$$

Из второго равенства получаем:

$$b_1q^2-b_1q=120,$$

$$b_1q(q-1)=120,$$

$$b_1(q-1)=\frac{120}{q}.$$

Из первого равенства:

$$b_1q^3-b_1=744,$$

$$b_1(q^3-1)=744,$$

$$b_1(q-1)(q^2+q+1)=744.$$

Подставим $$b_1(q-1)=\frac{120}{q}$$:

$$\frac{120}{q}(q^2+q+1)=744.$$

Умножим на $$q$$:

$$120(q^2+q+1)=744q,$$

$$120q^2-624q+120=0,$$

$$5q^2-26q+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576,$$

$$q=\frac{26\pm 24}{10}.$$

Получаем:

$$q_1=5,\qquad q_2=\frac15.$$

Так как прогрессия возрастающая, то $$q>1$$, значит $$q=5$$.

Тогда из равенства

$$b_1(q-1)=\frac{120}{q}$$

имеем:

$$b_1\cdot 4=\frac{120}{5}=24,$$

$$b_1=6.$$

Находим остальные члены:

$$b_2=6\cdot 5=30,$$

$$b_3=30\cdot 5=150,$$

$$b_4=150\cdot 5=750.$$

Ответ

$$6;\ 30;\ 150;\ 750.$$