Упр.775 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Чему равен предел:
   а) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{3n+1}{2n-1}\right)$$;
   в) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{n^2+n-2}-\frac{1}{n-1}\right)$$;
   б) $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)(2n-1)}{n^2-n+2}$$;
   г) $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)^3+(2-n)^3}{n^2-n+2}$$?
2. Четыре числа составляют убывающую геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что сумма крайних членов равна 135, а сумма средних членов равна 90.

Пусть четыре числа убывающей геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3,\; b_4,$$ а её знаменатель равен $$q.$$ Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_1+b_4=135,$$

$$b_2+b_3=90.$$

Из второго равенства получаем:

$$b_1q+b_1q^2=90,$$

$$b_1q(1+q)=90,$$

$$b_1(1+q)=\frac{90}{q}.$$

Из первого равенства:

$$b_1+b_1q^3=135,$$

$$b_1(1+q^3)=135,$$

$$b_1(1+q)(1-q+q^2)=135.$$

Подставим $$b_1(1+q)=\frac{90}{q}:$$

$$\frac{90}{q}(1-q+q^2)=135.$$

Умножим на $$q$$:

$$90(1-q+q^2)=135q,$$

$$2q^2-5q+2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25-16=9,$$

$$q=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$q_1=\frac12,\quad q_2=2.$$

Так как прогрессия убывающая, берём $$q=\frac12.$$ Тогда из

$$b_1q(1+q)=90$$

имеем:

$$b_1\cdot \frac12 \cdot \frac32=90,$$

$$b_1=120.$$

Тогда

$$b_2=120\cdot \frac12=60,$$

$$b_3=60\cdot \frac12=30,$$

$$b_4=30\cdot \frac12=15.$$

Ответ

$$120,\; 60,\; 30,\; 15.$$