Упр.774 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 774. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что её членами являются положительные числа S_2=21, S_3=49.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда

$$b_1+b_2=21,$$
$$b_1+b_2+b_3=49.$$

Так как $$b_2=b_1q$$, $$b_3=b_1q^2$$, получаем систему:

$$ \begin{cases} b_1+b_1q=21,\\ b_1+b_1q+b_1q^2=49. \end{cases} $$

Из второго уравнения вычтем первое:

$$b_1q^2=28,$$

значит,

$$b_1=\frac{28}{q^2}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{28}{q^2}(1+q)=21.$$

Умножим на $$q^2$$:

$$28+28q=21q^2.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$21q^2-28q-28=0,$$

$$3q^2-4q-4=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64,$$

$$q=\frac{4\pm 8}{6}.$$

Отсюда

$$q_1=2,\quad q_2=-\frac{2}{3}.$$

Так как все члены прогрессии положительные, берём $$q=2$$.

Тогда

$$b_1=\frac{28}{2^2}=7.$$

Седьмой член прогрессии:

$$b_7=b_1q^6=7\cdot 2^6=7\cdot 64=448.$$

Ответ

448.