Упр.773 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 773. Найдите три положительных числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что их сумма равна 42, а сумма обратных им чисел равна 21/32.

Пусть три положительных числа, образующие геометрическую прогрессию, равны $$b_1,\; b_1q,\; b_1q^2.$$ Тогда

$$b_1+b_1q+b_1q^2=42,$$
$$\frac1{b_1}+\frac1{b_1q}+\frac1{b_1q^2}=\frac{21}{32}.$$

Из первого равенства получаем

$$b_1(1+q+q^2)=42.$$

Из второго равенства:

$$\frac{b_1q^2+b_1q+b_1}{b_1^2q^2}=\frac{21}{32},$$
$$\frac{1+q+q^2}{b_1q^2}=\frac{21}{32}.$$

Подставим сюда $$b_1(1+q+q^2)=42$$:

$$\frac{42}{b_1q^2}=\frac{21}{32},$$
$$b_1q^2=64.$$

Но $$b_1q^2=b_3,$$ значит произведение крайних членов равно $$64.$$ Тогда из $$b_1(1+q+q^2)=42$$ и $$b_1q^2=64$$ получаем

$$\frac{64}{q^2}(1+q+q^2)=42,$$
$$64+64q+64q^2=42q^2,$$
$$22q^2+64q+64=0.$$

Удобнее сразу воспользоваться тем, что для геометрической прогрессии

$$\frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\frac1{b_3}=\frac{b_1b_2+b_1b_3+b_2b_3}{b_1b_2b_3}.$$

Пусть $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2.$$ Тогда

$$\frac{1+q+q^2}{b_1q^2}=\frac{21}{32}, \qquad b_1(1+q+q^2)=42.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{(1+q+q^2)^2}{q^2}=\frac{42\cdot 21}{32}.$$

После упрощения получаем уравнение

$$4q^2-17q+4=0.$$

Тогда

$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225,$$
$$q_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}.$$

Отсюда

$$q_1=4,\qquad q_2=\frac14.$$

Найдём первый член:

$$b_1(1+q+q^2)=42.$$

При $$q=4$$:

$$b_1(1+4+16)=42,$$
$$21b_1=42,$$
$$b_1=2.$$

Тогда числа прогрессии:

$$2,\; 8,\; 32.$$

При $$q=\frac14$$ получаем ту же прогрессию в обратном порядке:

$$32,\; 8,\; 2.$$

Ответ

$$2,\; 8,\; 32$$ или $$32,\; 8,\; 2$$.