Упр.771 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Известно, что каждый член сходящейся последовательности является отрицательным числом. Может ли пределом этой последовательности быть: а) положительное число; б) число 0?
2. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию? При положительном ответе укажите знаменатель прогрессии.

Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию:

$$a,\; aq,\; aq^2,\qquad q>1.$$

Так как наибольшая сторона — гипотенуза, то по теореме Пифагора

$$a^2+(aq)^2=(aq^2)^2.$$

Упростим:

$$a^2+a^2q^2=a^2q^4,$$

$$1+q^2=q^4,$$

$$q^4-q^2-1=0.$$

Обозначим $$t=q^2$$. Тогда

$$t^2-t-1=0.$$

Отсюда

$$t=\frac{1+\sqrt5}{2}$$

(второй корень отрицателен и не подходит, так как $$q^2>0$$).

Значит,

$$q=\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}=\frac12\sqrt{2(1+\sqrt5)}.$$

Следовательно, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию.

Ответ

Да, могут; $$q=\frac12\sqrt{2(1+\sqrt5)}.$$