Упр.768 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если $$(x_n)$$ — последовательность десятичных дробей, которые получаются, если в бесконечной периодической десятичной дроби $$0,(3)$$ оставлять одну, две, три и т. д. цифры после запятой, то $$\lim_{n\to\infty} x_n=\frac{1}{3}$$.
2. При каких значениях $$x$$ числа а) $$x,\sqrt{x},x-5$$; б) $$x,\sqrt{x-8},\frac{x}{36}$$, взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии?

1. Для трёх последовательных членов геометрической прогрессии выполняется условие: квадрат среднего члена равен произведению соседних.

2. а) $$x,\ \sqrt{x},\ x-5$$

   Составим уравнение:

   $$\left(\sqrt{x}\right)^2=x(x-5)$$

   $$x=x^2-5x$$

   $$x^2-6x=0$$

   $$x(x-6)=0$$

   Получаем $$x=0$$ или $$x=6$$.

   Проверим область допустимых значений: $$x\ge 0$$, а также $$x-5\ge 0$$, если средний член $$\sqrt{x}$$ должен быть действительным. При $$x=0$$ получаем числа $$0,\ 0,\ -5$$, это не геометрическая прогрессия в обычном смысле. Подходит только $$x=6$$.

3. б) $$x,\ \sqrt{x-8},\ \frac{x}{36}$$

   Составим уравнение:

   $$\left(\sqrt{x-8}\right)^2=x\cdot \frac{x}{36}$$

   $$x-8=\frac{x^2}{36}$$

   $$36(x-8)=x^2$$

   $$x^2-36x+288=0$$

   $$D=36^2-4\cdot 288=1296-1152=144$$

   $$x_{1,2}=\frac{36\pm 12}{2}$$

   $$x_1=12,\quad x_2=24$$

   Оба значения удовлетворяют области определения: $$x\ge 8$$.

Ответ

а) $$6$$; б) $$12,\ 24$$.