Упр.767 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 767. В геометрической профессии a_1=64, q=1/2. Найдите, чему равно a_9 и произведение первых тринадцати членов.

Для геометрической прогрессии $$a_1=64$$, $$q=\frac12$$.

Найдём девятый член:

$$ a_9=a_1\cdot q^{8}=64\cdot \left(\frac12\right)^8 =2^6\cdot 2^{-8}=2^{-2}=\frac14. $$

Найдём произведение первых тринадцати членов:

$$ P_{13}=a_1^{13}\cdot q^{1+2+\dots+12}. $$

Сумма показателей равна:

$$ 1+2+\dots+12=\frac{12\cdot 13}{2}=78. $$

Тогда

$$ P_{13}=64^{13}\cdot \left(\frac12\right)^{78} =2^{6\cdot 13}\cdot 2^{-78} =2^{78}\cdot 2^{-78}=1. $$

Ответ

$$a_9=\frac14,\quad P_{13}=1.$$