Упр.764 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 32, 16, 8, … меньше 0,01; б) 1/3, 2/3, 4/3, … больше 50?

а) Для геометрической прогрессии $$32,\,16,\,8,\ldots$$ имеем:

$$b_1=32,\quad q=\frac{16}{32}=\frac12.$$

Тогда

$$b_n=32\left(\frac12\right)^{n-1}.$$

Найдём, начиная с какого номера $$b_n<0{,}01$$:

$$32\left(\frac12\right)^{n-1}<0{,}01.$$

Умножим на $$2^{n-1}$$:

$$32<0{,}01\cdot 2^{n-1}.$$

Разделим на $$0{,}01$$:

$$3200<2^{n-1}.$$

Так как $$2^{11}=2048$$, а $$2^{12}=4096,$$ то

$$n-1>11,$$

значит, $$n>12.$$

Следовательно, начиная с $$13$$-го члена прогрессии, все члены меньше $$0{,}01$$.

б) Для прогрессии $$\frac13,\frac23,\frac43,\ldots$$ имеем:

$$b_1=\frac13,\quad q=\frac{\frac23}{\frac13}=2.$$

Тогда

$$b_n=\frac13\cdot 2^{n-1}.$$

Найдём, начиная с какого номера $$b_n>50$$:

$$\frac13\cdot 2^{n-1}>50.$$

Умножим на $$3$$:

$$2^{n-1}>150.$$

Так как $$2^7=128$$, а $$2^8=256,$$ то

$$n-1>7,$$

значит, $$n>8.$$

Следовательно, начиная с $$9$$-го члена прогрессии, все члены больше $$50$$.

Ответ

а) с 13-го; б) с 9-го.