Упр.76 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) функция f(x)=x^2+2x на промежутке (-?; —2] убывает, а на промежутке [0; +?) возрастает;
б) функция g(x)=x^3+x-7 возрастает на множестве R?

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+2x.$$

Найдём разность значений функции при $$x_2>x_1$$:

$$ f(x_2)-f(x_1)=x_2^2+2x_2-x_1^2-2x_1 $$
$$ =(x_2-x_1)(x_2+x_1)+2(x_2-x_1) $$
$$ =(x_2-x_1)(x_2+x_1+2). $$

Если $$x_1<x_2\le -2,$$ то $$x_2-x_1>0,$$ а также $$x_2+x_1+2\le -2<0.$$ Значит,

$$ f(x_2)-f(x_1)<0, $$

то есть $$f(x_2)<f(x_1).$$ Следовательно, на промежутке $$(-\infty;\,-2]$$ функция убывает.

Если $$0\le x_1<x_2,$$ то $$x_2-x_1>0,$$ а $$x_2+x_1+2>0.$$ Тогда

$$ f(x_2)-f(x_1)>0, $$

то есть $$f(x_2)>f(x_1).$$ Следовательно, на промежутке $$[0;\,+\infty)$$ функция возрастает.

б) Рассмотрим функцию $$g(x)=x^3+x-7.$$

Пусть $$x_2>x_1.$$ Тогда

$$ g(x_2)-g(x_1)=x_2^3+x_2-7-(x_1^3+x_1-7) $$
$$ =(x_2^3-x_1^3)+(x_2-x_1) $$
$$ =(x_2-x_1)(x_2^2+x_2x_1+x_1^2)+(x_2-x_1) $$
$$ =(x_2-x_1)(x_2^2+x_2x_1+x_1^2+1). $$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_2-x_1>0.$$ Кроме того,

$$ x_2^2+x_2x_1+x_1^2+1>0 $$

при любых $$x_1$$ и $$x_2.$$ Значит,

$$ g(x_2)-g(x_1)>0, $$

то есть $$g(x_2)>g(x_1).$$ Следовательно, функция $$g(x)=x^3+x-7$$ возрастает на множестве $$\mathbb{R}.$$

Ответ

а) $$f(x)=x^2+2x$$ убывает на $$(-\infty;\,-2]$$ и возрастает на $$[0;\,+\infty)$$; б) $$g(x)=x^3+x-7$$ возрастает на $$\mathbb{R}.$$