Упр.759 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 759. Найдите промежутки монотонности функции y=(x+10)/(x-5) и определите характер монотонности функции в каждом из них.

Преобразуем функцию:

$$ y=\frac{x+10}{x-5}=\frac{(x-5)+15}{x-5}=1+\frac{15}{x-5}. $$

Область определения: $$x\ne 5.$$

Рассмотрим, как меняется функция на каждом из промежутков области определения.

1) Если $$x_2>x_1>5,$$ то $$x_2-5>x_1-5>0,$$ значит

$$ \frac{15}{x_2-5}<\frac{15}{x_1-5}, $$

следовательно,

$$ 1+\frac{15}{x_2-5}<1+\frac{15}{x_1-5}. $$

Значит, на промежутке $$\left(5;+\infty\right)$$ функция убывает.

2) Если $$x_2<x_1<5,$$ то $$x_2-5<x_1-5<0,$$ и при отрицательных знаменателях неравенство для дробей меняется на противоположное:

$$ \frac{15}{x_2-5}>\frac{15}{x_1-5}, $$

следовательно,

$$ 1+\frac{15}{x_2-5}>1+\frac{15}{x_1-5}. $$

Значит, на промежутке $$\left(-\infty;5\right)$$ функция также убывает.

Ответ

Функция убывает на промежутках $$\left(-\infty;5\right)$$ и $$\left(5;+\infty\right).$$