Упр.758 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

(1-a^2)x^2+2ax-1=0
принадлежат промежутку (0; 1)?

Рассмотрим уравнение

$$ (1-a^2)x^2+2ax-1=0. $$

Найдём его корни. Дискриминант:

$$ D=(2a)^2-4(1-a^2)(-1)=4a^2+4-4a^2=4. $$

Тогда

$$ x_{1,2}=\frac{-2a\pm 2}{2(1-a^2)}=\frac{-a\pm 1}{1-a^2}. $$

Упростим:

$$ x_1=\frac{-a-1}{1-a^2}=\frac{1}{a-1}, \qquad x_2=\frac{1-a}{1-a^2}=\frac{1}{a+1}. $$

Требуется, чтобы оба корня принадлежали промежутку $$(0;1).$$

1) Оба корня положительны:

$$ \frac{1}{a-1}>0,\qquad \frac{1}{a+1}>0. $$

Отсюда

$$ a>1,\qquad a>-1. $$

Значит, нужно $$a>1.$$

2) Оба корня меньше единицы:

$$ \frac{1}{a-1}<1,\qquad \frac{1}{a+1}<1. $$

При $$a>1$$ имеем:

$$ \frac{1}{a-1}<1 \iff 12, $$

$$ \frac{1}{a+1}<1 \iff 1

что при $$a>1$$ выполняется автоматически.

Следовательно, условие для обоих корней:

$$ a>2. $$

При $$a=\pm 1$$ уравнение становится линейным, но его корень не принадлежит промежутку $$(0;1),$$ поэтому эти значения не подходят.

Ответ

$$ a\in(2;+\infty). $$