Упр.758 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Три числа, сумма которых равна $$15{,}6$$, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, четырнадцатым и пятидесятым членами арифметической прогрессии. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии.
2. При каком условии корни уравнения $$\left(1-a^2\right)x^2+2ax-1=0$$ принадлежат промежутку $$(0;1)$$?

Рассмотрим уравнение

$$(1-a^2)x^2+2ax-1=0.$$

Найдём его корни. Дискриминант:

$$D=(2a)^2-4(1-a^2)(-1)=4a^2+4-4a^2=4.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-2a\pm 2}{2(1-a^2)}=\frac{-a\pm 1}{1-a^2}.$$

Упростим:

$$x_1=\frac{-a-1}{1-a^2}=\frac{1}{a-1}, \qquad x_2=\frac{1-a}{1-a^2}=\frac{1}{a+1}.$$

Требуется, чтобы оба корня принадлежали промежутку $$(0;1).$$

1) Оба корня положительны:

$$\frac{1}{a-1}>0,\qquad \frac{1}{a+1}>0.$$

Отсюда

$$a>1,\qquad a>-1.$$

Значит, нужно $$a>1.$$

2) Оба корня меньше единицы:

$$\frac{1}{a-1}<1,\qquad \frac{1}{a+1}<1.$$

При $$a>1$$ имеем:

$$\frac{1}{a-1}<1 \iff 12,$$

$$\frac{1}{a+1}<1 \iff 1

что при $$a>1$$ выполняется автоматически.

Следовательно, условие для обоих корней:

$$a>2.$$

При $$a=\pm 1$$ уравнение становится линейным, но его корень не принадлежит промежутку $$(0;1),$$ поэтому эти значения не подходят.

Ответ

$$a\in(2;+\infty).$$