Упр.756 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 756. Известно, что (a_n) — арифметическая прогрессия, (S_n) — последовательность сумм первых n её членов. Докажите, что если члены последовательности (a_n) изображаются точками, принадлежащими прямой y=2x-3, то члены последовательности (S_n) изображаются точками, принадлежащими параболе y=x^2-2x.

Так как точки последовательности $$\left(a_n\right)$$ лежат на прямой $$y=2x-3,$$ то для каждого натурального $$n$$

$$a_n=2n-3.$$

Найдём первый член и сумму первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$a_1=2\cdot 1-3=-1.$$

Тогда

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

Подставим найденные значения:

$$S_n=\frac{-1+(2n-3)}{2}\cdot n=\frac{2n-4}{2}\cdot n=(n-2)n=n^2-2n.$$

Значит, члены последовательности $$\left(S_n\right)$$ задаются формулой

$$y=x^2-2x,$$

то есть изображаются точками, принадлежащими параболе $$y=x^2-2x.$$

Ответ

$$a_n=2n-3,\qquad S_n=n^2-2n.$$