Упр.755 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) {a_3+a_5=36, S_6=93, a_n+a_1+a_6=89};
б) {a_3=21, S_4=36, S_n=300}.

а) Для арифметической прогрессии $$a_3=a_1+2d,\quad a_5=a_1+4d.$$ Тогда из условия

$$a_3+a_5=36$$

получаем

$$a_1+2d+a_1+4d=36,$$

$$2a_1+6d=36,$$

$$a_1+3d=18.$$

С другой стороны,

$$S_6=\frac{2a_1+5d}{2}\cdot 6=93,$$

откуда

$$3(2a_1+5d)=93,$$

$$2a_1+5d=31.$$

Вычтем из этого равенства $$2a_1+6d=36$$:

$$d=5.$$

Тогда

$$a_1=18-3d=18-15=3.$$

Используем третье условие:

$$a_n+a_1+a_6=89.$$

Так как $$a_6=a_1+5d=3+25=28,$$ то

$$a_n+3+28=89,$$

$$a_n=58.$$

Но $$a_n=a_1+d(n-1),$$ значит

$$3+5(n-1)=58,$$

$$5n-2=58,$$

$$5n=60,$$

$$n=12.$$

б) Имеем

$$a_3=a_1+2d=21,$$

$$S_4=\frac{2a_1+3d}{2}\cdot 4=36.$$

Из первого равенства

$$a_1=21-2d.$$

Подставим во второе:

$$2(21-2d)+3d=18,$$

$$42-d=18,$$

$$d=24.$$

Тогда

$$a_1=21-48=-27.$$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=1260.$$

Подставим $$a_1=-27$$ и $$d=24$$:

$$\frac{-54+24(n-1)}{2}\cdot n=1260,$$

$$(-54+24n-24)n=2520,$$

$$24n^2-78n-2520=0,$$

$$4n^2-13n-420=0.$$

Найдём корни:

$$D=13^2+4\cdot 4\cdot 420=6889,$$

$$\sqrt{D}=83,$$

$$n=\frac{13\pm 83}{8}.$$

Положительный корень:

$$n=\frac{96}{8}=12.$$

Ответ

а) $$12$$; б) $$12$$.