Упр.754 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение $$n$$, при котором $$S_n=63$$.
2. В арифметической прогрессии $$(a_n)$$ найдите $$a_1$$ и $$d$$, если известно, что $$a_1a_2a_3=280$$, $$S_5=50$$.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность.

Тогда

$$a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d.$$

Из формулы суммы первых пяти членов:

$$S_5=\frac{5(2a_1+4d)}{2}=50.$$

Отсюда

$$2a_1+4d=20,$$

$$a_1+2d=10,$$

$$a_1=10-2d.$$

Теперь используем условие $$a_1a_2a_3=280$$:

$$a_1(a_1+d)(a_1+2d)=280.$$

Подставим $$a_1=10-2d$$:

$$(10-2d)(10-d)\cdot 10=280.$$

$$100-30d+2d^2=28.$$

$$2d^2-30d+72=0.$$

$$d^2-15d+36=0.$$

$$D=15^2-4\cdot 36=225-144=81.$$

$$d_{1,2}=\frac{15\pm 9}{2}.$$

Получаем:

$$d_1=3,\quad d_2=12.$$

Тогда

$$a_1=10-2d.$$

Если $$d=3$$, то $$a_1=10-6=4$$.

Если $$d=12$$, то $$a_1=10-24=-14$$.

Ответ

$$a_1=4,\ d=3$$ или $$a_1=-14,\ d=12.$$