Упр.753 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите сумму:
   а) $$1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}$$;
   б) $$\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)+\ldots+\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)$$.
2. Известно, что $$\left(a_n\right)$$ — арифметическая прогрессия, в которой $$a_1^2+a_2^2+a_3^2=93$$, $$S_6=57$$. Найдите $$a_1$$ и $$d$$.

Для арифметической прогрессии имеем:

$$S_6=\frac{(2a_1+5d)\cdot 6}{2}=57,$$
откуда
$$3(2a_1+5d)=57,$$
$$2a_1+5d=19,$$
$$a_1=\frac{19-5d}{2}.$$

Теперь используем условие

$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=93.$$

Так как $$a_2=a_1+d,$$ $$a_3=a_1+2d,$$ то

$$a_1^2+(a_1+d)^2+(a_1+2d)^2=93,$$
$$a_1^2+a_1^2+2a_1d+d^2+a_1^2+4a_1d+4d^2=93,$$
$$3a_1^2+6a_1d+5d^2=93.$$

Подставим $$a_1=\frac{19-5d}{2}:$$

$$3\left(\frac{19-5d}{2}\right)^2+6d\left(\frac{19-5d}{2}\right)+5d^2=93,$$
$$35d^2-342d+711=0.$$

Найдём корни:

$$D=342^2-4\cdot 35\cdot 711=17424,$$
$$d=\frac{342\pm \sqrt{17424}}{70}.$$

Так как $$\sqrt{17424}=132,$$ получаем:

$$d_1=\frac{342-132}{70}=3,\qquad d_2=\frac{342+132}{70}=\frac{237}{35}.$$

Найдём соответствующие значения $$a_1$$:

при $$d=3$$
$$a_1=\frac{19-5\cdot 3}{2}=2;$$

при $$d=\frac{237}{35}$$
$$a_1=\frac{19-5\cdot \frac{237}{35}}{2}=-\frac{3}{7}.$$

Ответ

$$a_1=2,\ d=3$$ или $$a_1=-\frac{3}{7},\ d=\frac{237}{35}.$$