Упр.752 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 752. В арифметической прогрессии, содержащей 12 членов, сумма членов равна 168. Найдите первый член и разность прогрессии, если известно, что сумма членов с чётными номерами относится к сумме членов с нечётными номерами как 13 : 15.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — разность.

Так как в прогрессии 12 членов, то сумма членов с чётными номерами равна

$$S_{\text{ч}}=\frac{a_2+a_{12}}{2}\cdot 6,$$

а сумма членов с нечётными номерами равна

$$S_{\text{н}}=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 6.$$

По условию

$$\frac{S_{\text{ч}}}{S_{\text{н}}}=\frac{13}{15}.$$

Тогда

$$\frac{a_2+a_{12}}{a_1+a_{11}}=\frac{13}{15}.$$

Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:

$$a_2=a_1+d,\quad a_{11}=a_1+10d,\quad a_{12}=a_1+11d.$$

Получаем

$$\frac{(a_1+d)+(a_1+11d)}{a_1+(a_1+10d)}=\frac{13}{15},$$

$$\frac{2a_1+12d}{2a_1+10d}=\frac{13}{15}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$15(2a_1+12d)=13(2a_1+10d),$$

$$30a_1+180d=26a_1+130d,$$

$$4a_1+50d=0,$$

$$2a_1+25d=0,$$

$$a_1=-\frac{25}{2}d.$$

Теперь используем сумму всех 12 членов:

$$S_{12}=\frac{12}{2}\bigl(2a_1+11d\bigr)=168.$$

Тогда

$$6(2a_1+11d)=168,$$

$$2a_1+11d=28.$$

Подставим $$a_1=-\frac{25}{2}d$$:

$$2\left(-\frac{25}{2}d\right)+11d=28,$$

$$-25d+11d=28,$$

$$-14d=28,$$

$$d=-2.$$

Тогда

$$a_1=-\frac{25}{2}\cdot(-2)=25.$$

Ответ

$$a_1=25,\quad d=-2.$$