Упр.750 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В геометрической прогрессии $$(a_n)$$ найдите $$a_n$$, $$a_1$$ и $$q$$, если: а) $$a_4-a_2=0{,}6$$, $$a_5-a_3=1{,}2$$, $$S_n=12{,}7$$; б) $$a_1+a_3=5{,}2$$, $$a_2+a_4=1{,}04$$, $$S_n=6{,}24$$.
2. В арифметической прогрессии $$(a_n)$$ найдите $$a_1$$ и $$d$$, если: а) $$\frac{a_3}{a_6}=2$$, $$S_8=72$$; б) $$\frac{a_6}{a_3}=1{,}5$$, $$S_6=156$$.

а) Для арифметической прогрессии имеем:

$$a_3=a_1+2d,\quad a_6=a_1+5d.$$

По условию:

$$\frac{a_3}{a_6}=2,$$

значит

$$\frac{a_1+2d}{a_1+5d}=2,$$

$$a_1+2d=2(a_1+5d),$$

$$a_1+2d=2a_1+10d,$$

$$a_1=-8d.$$

Теперь используем формулу суммы первых восьми членов:

$$S_8=\frac{a_1+a_8}{2}\cdot 8=72,$$

где $$a_8=a_1+7d.$$ Тогда

$$\frac{2a_1+7d}{2}\cdot 8=72,$$

$$4(2a_1+7d)=72,$$

$$2a_1+7d=18.$$

Подставим $$a_1=-8d$$:

$$2(-8d)+7d=18,$$

$$-9d=18,$$

$$d=-2.$$

Тогда

$$a_1=-8\cdot(-2)=16.$$

б) Здесь

$$a_6=a_1+5d,\quad a_3=a_1+2d.$$

По условию:

$$\frac{a_6}{a_3}=1{,}5,$$

то есть

$$\frac{a_1+5d}{a_1+2d}=1{,}5,$$

$$a_1+5d=1{,}5(a_1+2d),$$

$$a_1+5d=1{,}5a_1+3d,$$

$$0{,}5a_1=2d,$$

$$a_1=4d.$$

Используем формулу суммы первых шести членов:

$$S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\cdot 6=156,$$

где $$a_6=a_1+5d.$$ Тогда

$$\frac{2a_1+5d}{2}\cdot 6=156,$$

$$3(2a_1+5d)=156,$$

$$2a_1+5d=52.$$

Подставим $$a_1=4d$$:

$$2\cdot 4d+5d=52,$$

$$13d=52,$$

$$d=4.$$

Тогда

$$a_1=4\cdot 4=16.$$

Ответ

а) $$a_1=16,\ d=-2$$; б) $$a_1=16,\ d=4$$.