Упр.749 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) S_n=3n^2-n; б) S_n=n-n^2; в) S_n=n^2+2n?
При положительном ответе укажите разность прогрессии.

Для арифметической прогрессии разность соседних сумм равна очередному члену:

$$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n.$$

1. $$S_n=3n^2-n.$$

   Найдём $$S_{n+1}$$:

   $$S_{n+1}=3(n+1)^2-(n+1)=3n^2+6n+3-n-1=3n^2+5n+2.$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=(3n^2+5n+2)-(3n^2-n)=6n+2.$$

   Это выражение линейно зависит от $$n$$, значит последовательность является арифметической прогрессией. Разность:

   $$d=6.$$

2. $$S_n=n-n^2.$$

   Найдём $$S_{n+1}$$:

   $$S_{n+1}=(n+1)-(n+1)^2=n+1-n^2-2n-1=-n^2-n.$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=(-n^2-n)-(n-n^2)=-2n.$$

   Следовательно, это арифметическая прогрессия, и

   $$d=-2.$$

3. $$S_n=n^2+2n.$$

   Найдём $$S_{n+1}$$:

   $$S_{n+1}=(n+1)^2+2(n+1)=n^2+2n+1+2n+2=n^2+4n+3.$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=(n^2+4n+3)-(n^2+2n)=2n+3.$$

   Это арифметическая прогрессия, и

   $$d=2.$$

Ответ

а) да, $$d=6$$; б) да, $$d=-2$$; в) да, $$d=2$$.