Упр.744 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 2^2·2^4·2^6·…·2^(2x)=(0,25)^(-36);
б) 5^3·5^6·5^9·…·5^(3x)=(0,008)^(-55).

а) Показатели степеней образуют арифметическую прогрессию: $$2,4,6,\dots,2x.$$

Тогда сумма показателей равна сумме членов прогрессии:

$$ S_n=2+4+6+\dots+2x $$

Правая часть:

$$ (0,25)^{-36}=\left(\frac14\right)^{-36}=4^{36}=2^{72} $$

Значит,

$$ 2^{S_n}=2^{72}\Rightarrow S_n=72 $$

Для арифметической прогрессии $$a_1=2$$, $$d=2$$, $$a_n=2x$$. Тогда

$$ a_n=a_1+d(n-1) $$
$$ 2x=2+2(n-1)=2n $$
$$ x=n $$

Сумма первых $$n$$ членов:

$$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2+2n}{2}\cdot n=(n+1)n $$

Получаем уравнение:

$$ n(n+1)=72 $$
$$ n^2+n-72=0 $$
$$ (n-8)(n+9)=0 $$

Так как $$n>0$$, то $$n=8$$, значит $$x=8$$.

б) Показатели степеней образуют арифметическую прогрессию:

$$ 3,6,9,\dots,3x $$

Правая часть:

$$ (0,008)^{-55}=\left(\frac1{125}\right)^{-55}=125^{55}=5^{165} $$

Следовательно, сумма показателей равна $$165$$:

$$ 3+6+9+\dots+3x=165 $$

Здесь $$a_1=3$$, $$d=3$$, $$a_n=3x$$. Тогда

$$ 3x=3+3(n-1)=3n $$
$$ x=n $$

Сумма первых $$n$$ членов:

$$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{3+3n}{2}\cdot n $$

Так как сумма показателей равна $$165$$, получаем:

$$ \frac{3+3n}{2}\cdot n=165 $$
$$ (3+3n)n=330 $$
$$ 3n^2+3n-330=0 $$
$$ n^2+n-110=0 $$
$$ (n-10)(n+11)=0 $$

Так как $$n>0$$, то $$n=10$$, значит $$x=10$$.

Ответ

а) $$8$$; б) $$10$$.