Упр.743 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 2+8+14+…+х=184; б) 5+8+11+…+х=185.

а) Слагаемые образуют арифметическую прогрессию: $$2,\,8,\,14,\ldots,x$$

Тогда $$a_1=2,\quad d=8-2=6,\quad a_n=x.$$

По формуле общего члена:

$$x=a_n=a_1+d(n-1)=2+6(n-1)=6n-4.$$

Сумма первых $$n$$ членов равна $$184$$:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=184.$$

Подставим $$a_1=2$$ и $$a_n=6n-4$$:

$$\frac{2+(6n-4)}{2}\cdot n=184$$

$$\frac{6n-2}{2}\cdot n=184$$

$$n(3n-1)=184$$

$$3n^2-n-184=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-184)=1+2208=2209,$$

$$\sqrt{D}=47.$$

$$n=\frac{1\pm 47}{6}.$$

Подходит только положительное значение:

$$n=\frac{48}{6}=8.$$

Тогда

$$x=6\cdot 8-4=44.$$

б) Слагаемые образуют арифметическую прогрессию: $$5,\,8,\,11,\ldots,x$$

Тогда $$a_1=5,\quad d=8-5=3,\quad a_n=x.$$

По формуле общего члена:

$$x=a_n=a_1+d(n-1)=5+3(n-1)=3n+2.$$

Сумма первых $$n$$ членов равна $$185$$:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=185.$$

Подставим $$a_1=5$$ и $$a_n=3n+2$$:

$$\frac{5+(3n+2)}{2}\cdot n=185$$

$$\frac{3n+7}{2}\cdot n=185$$

$$n(3n+7)=370$$

$$3n^2+7n-370=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-370)=49+4440=4489,$$

$$\sqrt{D}=67.$$

$$n=\frac{-7\pm 67}{6}.$$

Подходит только положительное значение:

$$n=\frac{60}{6}=10.$$

Тогда

$$x=3\cdot 10+2=32.$$

Ответ

а) $$44$$; б) $$32$$.