Упр.741 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) n и a_n, если a_1=-12, d=1,5, S_n=13,5;
б) n и a_1, если a_n=-7,5, d=-2,5, S_n=75.

1. а) Используем формулу суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

   $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

   Подставим данные:

   $$13{,}5=\frac{2\cdot(-12)+1{,}5(n-1)}{2}\cdot n.$$

   $$13{,}5=\frac{-24+1{,}5n-1{,}5}{2}\cdot n,$$

   $$27=n(1{,}5n-25{,}5),$$

   $$1{,}5n^2-25{,}5n-27=0.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$3n^2-51n-54=0,$$

   $$n^2-17n-18=0.$$

   $$D=17^2+4\cdot 18=361,$$

   $$n=\frac{17\pm 19}{2}.$$

   Получаем $$n=18$$ или $$n=-1$$. Подходит только $$n=18$$.

   Найдём $$a_n$$:

   $$a_{18}=a_1+d(18-1)=-12+1{,}5\cdot 17=13{,}5.$$

2. б) Сначала найдём $$a_1$$ из формулы общего члена:

   $$a_n=a_1+d(n-1).$$

   Подставим данные:

   $$-7{,}5=a_1-2{,}5(n-1),$$

   $$-7{,}5=a_1-2{,}5n+2{,}5,$$

   $$a_1=2{,}5n-10.$$

   Теперь используем формулу суммы:

   $$75=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$

   Подставим $$a_1=2{,}5n-10$$ и $$a_n=-7{,}5$$:

   $$75=\frac{2{,}5n-10-7{,}5}{2}\cdot n,$$

   $$150=n(2{,}5n-17{,}5),$$

   $$2{,}5n^2-17{,}5n-150=0.$$

   Умножим на $$2$$ и разделим на $$5$$:

   $$5n^2-35n-300=0,$$

   $$n^2-7n-60=0.$$

   $$D=7^2+4\cdot 60=289,$$

   $$n=\frac{7\pm 17}{2}.$$

   Получаем $$n=12$$ или $$n=-5$$. Подходит только $$n=12$$.

   Тогда

   $$a_1=2{,}5\cdot 12-10=20.$$

Ответ

а) $$n=18,$$ $$a_n=13{,}5$$; б) $$n=12,$$ $$a_1=20$$.