Упр.740 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите нули функции $$y=x^3-7x+6$$ и интервалы её знакопостоянства.
2. Пользуясь методом математической индукции, докажите, что если $$\left(a_n\right)$$ — арифметическая прогрессия, то $$a_n=a_1+d(n-1)$$, $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$.

Докажем оба равенства методом математической индукции.

1. Докажем, что $$a_n=a_1+d(n-1).$$

   База индукции: при $$n=1$$ имеем

   $$a_1=a_1+d\cdot 0=a_1.$$

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

   $$a_k=a_1+d(k-1).$$

   Тогда для $$n=k+1$$:

   $$a_{k+1}=a_k+d=a_1+d(k-1)+d=a_1+dk=a_1+d((k+1)-1).$$

   Следовательно, $$a_n=a_1+d(n-1)$$ верно для любого натурального $$n$$.

2. Докажем, что $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

   База индукции: при $$n=1$$

   $$S_1=a_1=\frac{2a_1+d\cdot 0}{2}\cdot 1.$$

   Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

   $$S_k=\frac{2a_1+d(k-1)}{2}\cdot k.$$

   Тогда

   $$S_{k+1}=S_k+a_{k+1}$$

   и, используя уже доказанную формулу для $$a_{k+1}$$, получаем

   $$S_{k+1}=\frac{2a_1+d(k-1)}{2}\cdot k+\bigl(a_1+dk\bigr).$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$S_{k+1}=\frac{2a_1k+dk(k-1)}{2}+\frac{2a_1+2dk}{2} =\frac{2a_1(k+1)+dk(k+1)}{2}.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$S_{k+1}=\frac{2a_1+dk}{2}\cdot (k+1) =\frac{2a_1+d((k+1)-1)}{2}\cdot (k+1).$$

   Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$a_n=a_1+d(n-1),\qquad S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$