Упр.740 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 740. Пользуясь методом математической индукции, докажите, что если (a_n) — арифметическая прогрессия, то a_n=a_1+d(n-1), S_n=(2a_1+d(n-1))/2·n.
Докажем оба равенства методом математической индукции.
Докажем, что $$a_n=a_1+d(n-1).$$
База индукции: при $$n=1$$ имеем
$$a_1=a_1+d\cdot 0=a_1.$$
Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно
$$a_k=a_1+d(k-1).$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$a_{k+1}=a_k+d=a_1+d(k-1)+d=a_1+dk=a_1+d((k+1)-1).$$
Следовательно, $$a_n=a_1+d(n-1)$$ верно для любого натурального $$n$$.
Докажем, что $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
База индукции: при $$n=1$$
$$S_1=a_1=\frac{2a_1+d\cdot 0}{2}\cdot 1.$$
Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно
$$S_k=\frac{2a_1+d(k-1)}{2}\cdot k.$$
Тогда
$$ S_{k+1}=S_k+a_{k+1} $$
и, используя уже доказанную формулу для $$a_{k+1}$$, получаем
$$ S_{k+1}=\frac{2a_1+d(k-1)}{2}\cdot k+\bigl(a_1+dk\bigr). $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ S_{k+1}=\frac{2a_1k+dk(k-1)}{2}+\frac{2a_1+2dk}{2} =\frac{2a_1(k+1)+dk(k+1)}{2}. $$
Вынесем общий множитель:
$$ S_{k+1}=\frac{2a_1+dk}{2}\cdot (k+1) =\frac{2a_1+d((k+1)-1)}{2}\cdot (k+1). $$
Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.
Ответ
$$a_n=a_1+d(n-1),\qquad S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
