Упр.739 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Является ли ограниченной функция $$y=\frac{6}{x^2+1}$$? Укажите наименьшее и наибольшее значения функции, если они существуют.
2. Проверьте правильность утверждения Диофанта (III в. н. э.): если $$a$$ — некоторое треугольное число, то $$8a+1$$ — квадратное число.

Треугольное число имеет вид

$$a=\frac{n(n+1)}{2}, \quad n \in \mathbb{N}.$$

Тогда

$$8a+1=8\cdot \frac{n(n+1)}{2}+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2.$$

Получили квадрат натурального числа $$2n+1$$. Значит, если $$a$$ — треугольное число, то $$8a+1$$ — квадратное число.

Ответ

Утверждение верно: $$8a+1=(2n+1)^2$$.