Упр.737 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Три числа, сумма которых равна $$65$$, составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть $$25$$, второе оставить без изменения, а к третьему прибавить $$5$$, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.
2. Докажите, что сумма $$k$$ последовательных натуральных чисел: а) делится на $$k$$, если $$k$$ — нечётное число; б) не делится на $$k$$, если $$k$$ — чётное число.

Сумма $$k$$ последовательных натуральных чисел, начиная с $$n$$, равна

$$S_k=n+(n+1)+\dots+(n+k-1).$$

Это арифметическая прогрессия, поэтому

$$S_k=\frac{(2n+k-1)k}{2}.$$

Тогда

$$\frac{S_k}{k}=\frac{2n+k-1}{2}=n+\frac{k-1}{2}.$$

а) Если $$k$$ — нечётное число, то $$k-1$$ чётно, значит $$\frac{k-1}{2}$$ — целое число. Следовательно,

$$\frac{S_k}{k}=n+\frac{k-1}{2}\in \mathbb{Z},$$

то есть $$S_k$$ делится на $$k$$.

б) Если $$k$$ — чётное число, то $$k-1$$ нечётно, значит $$\frac{k-1}{2}$$ не является целым числом. Тогда

$$\frac{S_k}{k}=n+\frac{k-1}{2}\notin \mathbb{Z},$$

следовательно, $$S_k$$ не делится на $$k$$.

Ответ

а) Делится на $$k$$ при нечётном $$k$$.
б) Не делится на $$k$$ при чётном $$k$$.