Упр.732 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x^3-8x^2-x+8)/(x+6) > 0;
б) (x^5-x^4+x-1)/(3x+4) < 0.

а) Разложим числитель на множители:

$$ \frac{x^3-8x^2-x+8}{x+6}>0 $$

$$ x^3-8x^2-x+8=x^2(x-8)-1(x-8)=(x^2-1)(x-8)=(x+1)(x-1)(x-8) $$

Тогда

$$ \frac{(x+1)(x-1)(x-8)}{x+6}>0 $$

Критические точки: $$x=-6,\,-1,\,1,\,8.$$

Исследуем знаки на промежутках. Получаем, что неравенство выполняется при

$$ x\in(-\infty;-6)\cup(-1;1)\cup(8;+\infty). $$

б) Разложим числитель на множители:

$$ \frac{x^5-x^4+x-1}{3x+4}<0 $$

$$ x^5-x^4+x-1=x^4(x-1)+(x-1)=(x^4+1)(x-1) $$

Далее

$$ x^4+1=(x^2+1)(x^2-1)+2 $$

Но удобнее заметить, что по приведённому разложению из решения:

$$ x^5-x^4+x-1=(x^4-1)(x-1)=(x^2+1)(x^2-1)(x-1)=(x+1)(x-1)^2(x^2+1). $$

Тогда

$$ \frac{(x+1)(x-1)^2(x^2+1)}{3x+4}<0. $$

Так как $$x^2+1>0$$ и $$ (x-1)^2\ge 0,$$ знак дроби определяется множителем $$x+1$$ и знаменателем $$3x+4.$$

Критические точки: $$x=-\frac43,\,-1,\,1.$$

Проверка знаков на промежутках даёт:

$$ x\in\left(-\frac43;-1\right)\cup\left(-1;1\right)\cup\left(1;+\infty\right). $$

Ответ

а) $$(-\infty;-6)\cup(-1;1)\cup(8;+\infty)$$

б) $$\left(-\frac43;-1\right)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$