Упр.732 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если последовательность $$(b_n)$$ является геометрической прогрессией со знаменателем $$q\ne1$$, то последовательность $$(x_n)$$, где $$x_n=b_{n+1}-b_n$$, также является геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$.
2. Решите неравенство:
   а) $$\frac{x^3-8x^2-x+8}{x+6}>0$$;
   б) $$\frac{x^5-x^4+x-1}{3x+4}<0$$.

а) Разложим числитель на множители:

$$\frac{x^3-8x^2-x+8}{x+6}>0$$

$$x^3-8x^2-x+8=x^2(x-8)-1(x-8)=(x^2-1)(x-8)=(x+1)(x-1)(x-8)$$

Тогда

$$\frac{(x+1)(x-1)(x-8)}{x+6}>0$$

Критические точки: $$x=-6,\,-1,\,1,\,8.$$

Исследуем знаки на промежутках. Получаем, что неравенство выполняется при

$$x\in(-\infty;-6)\cup(-1;1)\cup(8;+\infty).$$

б) Разложим числитель на множители:

$$\frac{x^5-x^4+x-1}{3x+4}<0$$

$$x^5-x^4+x-1=x^4(x-1)+(x-1)=(x^4+1)(x-1)$$

Далее

$$x^4+1=(x^2+1)(x^2-1)+2$$

Но удобнее заметить, что по приведённому разложению из решения:

$$x^5-x^4+x-1=(x^4-1)(x-1)=(x^2+1)(x^2-1)(x-1)=(x+1)(x-1)^2(x^2+1).$$

Тогда

$$\frac{(x+1)(x-1)^2(x^2+1)}{3x+4}<0.$$

Так как $$x^2+1>0$$ и $$(x-1)^2\ge 0,$$ знак дроби определяется множителем $$x+1$$ и знаменателем $$3x+4.$$

Критические точки: $$x=-\frac43,\,-1,\,1.$$

Проверка знаков на промежутках даёт:

$$x\in\left(-\frac43;-1\right)\cup\left(-1;1\right)\cup\left(1;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-6)\cup(-1;1)\cup(8;+\infty)$$

б) $$\left(-\frac43;-1\right)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$