Упр.730 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 730. Докажите, что если числа а, b, с — три последовательных члена арифметической прогрессии, то числа a^2+ab+b^2, a^2+ac+c^2, b^2+bc+c^2 также являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Пусть $$a, b, c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии. Тогда существует число $$d$$ такое, что

$$b=a+d,\qquad c=a+2d.$$

Рассмотрим три числа:

$$a^2+ab+b^2,\qquad a^2+ac+c^2,\qquad b^2+bc+c^2.$$

Докажем, что средний член равен полусумме крайних:

$$2(a^2+ac+c^2)=(a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2).$$

Действительно,

$$ (a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2)=a^2+ab+2b^2+bc+c^2, $$
$$ 2(a^2+ac+c^2)=2a^2+2ac+2c^2. $$

Вычтем правую часть из левой:

$$ 2(a^2+ac+c^2)-\bigl((a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2)\bigr) $$
$$ = a^2+2ac+c^2-ab-bc-2b^2. $$

Подставим $$b=a+d,\ c=a+2d$$:

$$ a^2+2a(a+2d)+(a+2d)^2-a(a+d)-(a+d)(a+2d)-2(a+d)^2=0. $$

Следовательно,

$$ 2(a^2+ac+c^2)=(a^2+ab+b^2)+(b^2+bc+c^2), $$

то есть числа $$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ образуют арифметическую прогрессию.

Ответ

$$a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2,\ b^2+bc+c^2$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии.