Упр.729 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 729. При каких значениях х числа x^2-3, 2x^2+1 и x^4+1, взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?

Пусть числа $$x^2-3,$$ $$2x^2+1$$ и $$x^4+1$$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда средний член равен полусумме соседних:

$$2x^2+1=\frac{(x^2-3)+(x^4+1)}{2}.$$

Умножим на 2:

$$4x^2+2=x^2+x^4-2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^4-3x^2-4=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-3t-4=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)=0.$$

Отсюда:

$$t=4 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

Так как $$t=x^2 \ge 0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Значит,

$$x^2=4,$$

откуда

$$x=\pm 2.$$

Ответ

$$-2;\ 2.$$