Упр.728 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что её членами являются положительные числа, $$S_2=21$$, $$S_3=49$$.
2. Последовательность $$(a_n)$$ — арифметическая прогрессия, в которой $$a_2+a_5=6$$, $$a_3\cdot a_4=-11{,}25$$. Найдите первые шесть членов прогрессии, изобразите их точками в координатной плоскости и напишите уравнение прямой, на которой лежат эти точки.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_5=a_1+4d.$$

Из условия получаем систему:

$$\begin{cases} a_2+a_5=6,\\ a_3\cdot a_4=-11{,}25. \end{cases}$$

Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:

$$\begin{cases} (a_1+d)+(a_1+4d)=6,\\ (a_1+2d)(a_1+3d)=-11{,}25. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$2a_1+5d=6,$$

$$a_1=3-2{,}5d.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(3-0{,}5d)(3+0{,}5d)=-11{,}25.$$

Тогда

$$9-0{,}25d^2=-11{,}25,$$

$$0{,}25d^2=20{,}25,$$

$$d^2=81,\quad d=\pm 9.$$

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$d=9$$, то

$$a_1=3-2{,}5\cdot 9=-19{,}5.$$

Тогда первые шесть членов прогрессии:

$$a_1=-19{,}5,\ a_2=-10{,}5,\ a_3=-1{,}5,\ a_4=7{,}5,\ a_5=16{,}5,\ a_6=25{,}5.$$

Общий член:

$$a_n=a_1+(n-1)d=-19{,}5+9(n-1)=9n-28{,}5.$$

2) Если $$d=-9$$, то

$$a_1=3-2{,}5\cdot(-9)=25{,}5.$$

Тогда первые шесть членов прогрессии:

$$a_1=25{,}5,\ a_2=16{,}5,\ a_3=7{,}5,\ a_4=-1{,}5,\ a_5=-10{,}5,\ a_6=-19{,}5.$$

Общий член:

$$a_n=25{,}5-9(n-1)=34{,}5-9n.$$

Точки $$\bigl(n,a_n\bigr)$$ для первых шести членов лежат на прямой, поэтому её уравнение совпадает с формулой общего члена.

Ответ

$$a_n=9n-28{,}5$$ или $$a_n=34{,}5-9n.$$

Первые шесть членов:

$$-19{,}5;\ -10{,}5;\ -1{,}5;\ 7{,}5;\ 16{,}5;\ 25{,}5$$

или

$$25{,}5;\ 16{,}5;\ 7{,}5;\ -1{,}5;\ -10{,}5;\ -19{,}5.$$

Уравнение прямой: $$y=9x-28{,}5$$ или $$y=34{,}5-9x.$$