Упр.726 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 726. Известно, что (a_n) — возрастающая арифметическая прогрессия, в которой a_1·a_4=45, a_2·a_3=77. Найдите первые четыре члена этой прогрессии.

Пусть $$a_1=x,$$ а разность арифметической прогрессии равна $$d>0.$$ Тогда

$$a_2=x+d,\quad a_3=x+2d,\quad a_4=x+3d.$$

По условию:

$$a_1\cdot a_4=45,\quad a_2\cdot a_3=77.$$

Составим уравнения:

$$x(x+3d)=45,$$

$$ (x+d)(x+2d)=77.$$

Вычтем первое равенство из второго:

$$x^2+3xd+2d^2-(x^2+3xd)=77-45,$$

$$2d^2=32,$$

$$d^2=16,$$

так как $$d>0,$$ то $$d=4.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x(x+12)=45,$$

$$x^2+12x-45=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=12^2-4\cdot 1\cdot(-45)=144+180=324,$$

$$x=\frac{-12\pm 18}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-15,\quad x_2=3.$$

Тогда первые четыре члена прогрессии:

при $$a_1=-15$$:

$$a_2=-15+4=-11,\quad a_3=-11+4=-7,\quad a_4=-7+4=-3;$$

при $$a_1=3$$:

$$a_2=3+4=7,\quad a_3=7+4=11,\quad a_4=11+4=15.$$

Ответ

$$-15,\,-11,\,-7,\,-3$$ или $$3,\,7,\,11,\,15.$$