Упр.725 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 725. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите пятый член прогрессии.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, а $$d<0$$ — её разность. Тогда

$$a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d.$$

По условию:

$$a_1+a_2+a_3=9,$$

$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=99.$$

Из первого равенства получаем:

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=9,$$

$$3a_1+3d=9,$$

$$a_1+d=3,$$

$$a_1=3-d.$$

Подставим во второе равенство:

$$a_1^2+(a_1+d)^2+(a_1+2d)^2=99,$$

$$ (3-d)^2+3^2+(3+d)^2=99.$$

Раскроем скобки:

$$9-6d+d^2+9+9+6d+d^2=99,$$

$$27+2d^2=99,$$

$$2d^2=72,$$

$$d^2=36.$$

Так как прогрессия убывающая, то $$d<0$$, значит

$$d=-6.$$

Тогда

$$a_1=3-(-6)=9.$$

Найдём пятый член прогрессии:

$$a_5=a_1+4d=9+4\cdot(-6)=9-24=-15.$$

Ответ

$$-15$$