Упр.720 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 720. Могут ли быть членами одной арифметической прогрессии (не обязательно последовательными) числа: а) v2, v8, v128; б) 3, v5, 7?

Проверим, могут ли данные числа быть членами одной арифметической прогрессии. Для трёх чисел это возможно тогда и только тогда, когда отношение разностей соседних членов является рациональным числом.

а) $$\sqrt2,\ \sqrt8,\ \sqrt{128}$$

Найдём разности:

$$\sqrt8-\sqrt2=2\sqrt2-\sqrt2=\sqrt2,$$

$$\sqrt{128}-\sqrt8=8\sqrt2-2\sqrt2=6\sqrt2.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt8-\sqrt2}{\sqrt{128}-\sqrt8}=\frac{\sqrt2}{6\sqrt2}=\frac16\in \mathbb{Q}.$$

Значит, эти числа могут быть членами одной арифметической прогрессии.

б) $$3,\ \sqrt5,\ 7$$

Найдём разности:

$$\sqrt5-3,$$

$$7-\sqrt5.$$

Проверим отношение:

$$\frac{\sqrt5-3}{7-\sqrt5}=\frac{(\sqrt5-3)(7+\sqrt5)}{(7-\sqrt5)(7+\sqrt5)}=\frac{4\sqrt5-16}{44}=\frac{\sqrt5-4}{11}\notin \mathbb{Q}.$$

Следовательно, эти числа не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

Ответ

а) да; б) нет.