Упр.719 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 719. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Пусть между числами $$2$$ и $$42$$ вставлено $$n-2$$ чисел, тогда вся последовательность образует арифметическую прогрессию:

$$a_1=2,\quad a_n=42.$$

По формуле общего члена:

$$a_n=a_1+d(n-1),$$

откуда

$$2+d(n-1)=42,$$

$$d(n-1)=40,$$

$$d=\frac{40}{n-1}.$$

По условию сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна $$56$$. Эти числа равны $$a_2$$, $$a_3$$ и $$a_{n-1}$$:

$$a_2+a_3+a_{n-1}=56.$$

Запишем их через $$a_1$$ и $$d$$:

$$\left(2+d\right)+\left(2+2d\right)+\left(2+d(n-2)\right)=56.$$

Тогда

$$6+dn+2d=56,$$

$$d(n+2)=50.$$

Подставим $$d=\frac{40}{n-1}$$:

$$\frac{40(n+2)}{n-1}=50,$$

$$40n+80=50n-50,$$

$$130=10n,$$

$$n=13.$$

Тогда

$$d=\frac{40}{13-1}=\frac{40}{12}=\frac{10}{3}.$$

Искомые вставленные числа:

$$a_2=2+\frac{10}{3}=\frac{16}{3},$$

$$a_3=\frac{16}{3}+\frac{10}{3}=\frac{26}{3},$$

$$a_4=\frac{26}{3}+\frac{10}{3}=12,$$

$$a_5=12+\frac{10}{3}=\frac{46}{3},$$

$$a_6=\frac{46}{3}+\frac{10}{3}= \frac{56}{3},$$

$$a_7=\frac{56}{3}+\frac{10}{3}=22,$$

$$a_8=22+\frac{10}{3}=\frac{76}{3},$$

$$a_9=\frac{76}{3}+\frac{10}{3}= \frac{86}{3},$$

$$a_{10}= \frac{86}{3}+\frac{10}{3}=32,$$

$$a_{11}=32+\frac{10}{3}=\frac{106}{3},$$

$$a_{12}=\frac{106}{3}+\frac{10}{3}= \frac{116}{3}.$$

Следовательно, между числами $$2$$ и $$42$$ нужно вставить $$11$$ чисел.

Ответ

$$\frac{16}{3};\ \frac{26}{3};\ 12;\ \frac{46}{3};\ \frac{56}{3};\ 22;\ \frac{76}{3};\ \frac{86}{3};\ 32;\ \frac{106}{3};\ \frac{116}{3}.$$