Упр.717 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Встретится ли среди членов геометрической прогрессии $$2, 6, 18, \ldots$$ число: а) $$54$$; б) $$486$$; в) $$72$$; г) $$576$$? Если число является членом данной геометрической прогрессии, то укажите его номер.
2. Известно, что $$(a_n)$$ — арифметическая прогрессия, в которой $$a_1=6$$, $$d=8$$, а $$(b_n)$$ — арифметическая прогрессия, в которой $$b_1=2$$, $$d=3$$. Каждая из последовательностей содержит по 40 членов. Найдите все одинаковые члены последовательностей.

Запишем общие члены арифметических прогрессий:

$$a_n=6+8(n-1)=8n-2,$$
$$b_n=2+3(n-1)=3n-1.$$

Ищем общие члены, то есть решаем уравнение

$$8n-2=3k-1.$$

Перенесём слагаемые:

$$8n-3k=1.$$

Так как нужно найти общие члены среди первых 40 членов каждой прогрессии, переберём значения, при которых оба номера целые и не превосходят 40:

$$a_2=14=b_5,$$
$$a_5=38=b_{13},$$
$$a_8=62=b_{21},$$
$$a_{11}=86=b_{29},$$
$$a_{14}=110=b_{37}.$$

Следующие общие члены уже не входят в первые 40 членов одной из прогрессий.

Ответ

$$14,\ 38,\ 62,\ 86,\ 110.$$