Упр.716 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Вкладчик решил положить в банк на год $$100$$ тыс. р. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на $$12\%$$, а в другом он возрастает ежемесячно на $$1\%$$ от накопленной суммы. В каком из банков доход будет больше и на сколько?
Число $$17$$ встречается в каждой из арифметических прогрессий $$(a_n)$$ и $$(b_n)$$: $$5, 8, 11, 14, 17, \ldots, a_n, \ldots$$; $$9, 17, 25, 33, \ldots, b_n, \ldots$$. Укажите следующий член, который встречается в обеих прогрессиях, и его номер в каждой из них.

Подробный ответ

Найдём формулы общих членов арифметических прогрессий.

Для первой прогрессии:

$$a_1=5,\quad d=8-5=3$$

Тогда

$$a_n=5+3(n-1)=3n+2.$$

Для второй прогрессии:

$$b_1=9,\quad d=17-9=8$$

Тогда

$$b_n=9+8(n-1)=8n+1.$$

Ищем следующий общий член прогрессий, то есть решаем уравнение

$$3n+2=8k+1.$$

Получаем

$$3n-8k=-1.$$

Подберём наименьшие натуральные значения, при которых это равенство выполняется. Из условия уже известно, что общий член 17 соответствует $$n=5$$ и $$k=2$$, значит следующий общий член должен быть больше 17. Проверим следующий общий член:

$$3n+2=41.$$

Тогда

$$3n=39,\quad n=13,$$

и для второй прогрессии

$$8k+1=41,\quad 8k=40,\quad k=5.$$

Следовательно, следующий общий член равен 41.