Упр.715 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В геометрической прогрессии $$(b_n)$$ найдите:
   а) $$b_5$$, если $$b_1=3\sqrt{2}$$, $$q=-\sqrt{2}$$;
   в) $$q$$, если $$b_1=0{,}5$$, $$b_4=500$$;
   б) $$b_1$$, если $$b_6=-\frac{1}{4}$$, $$q=\frac{1}{2}$$;
   г) $$b_1$$ и $$q$$, если $$b_2=4$$, $$b_4=1$$.
2. Могут ли составлять арифметическую прогрессию:
   а) длины сторон и периметр треугольника;
   б) длины сторон прямоугольного треугольника?

Пусть стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1,\ a_2=a_1+d,\ a_3=a_1+2d.$$

а) Длины сторон и периметр треугольника.

Тогда периметр равен

$$P=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=3a_1+3d.$$

Если бы длины сторон и периметр составляли арифметическую прогрессию, то должно было бы выполняться

$$a_2-a_1=P-a_3.$$

Но для арифметической прогрессии с четырьмя членами имеем

$$P=a_1+3d.$$

Сравнивая с найденным выражением для периметра, получаем

$$3a_1+3d=a_1+3d,$$

откуда

$$2a_1=0,\qquad a_1=0.$$

Это невозможно, так как длина стороны треугольника не может быть равна нулю. Значит, в этом случае арифметическая прогрессия невозможна.

б) Длины сторон прямоугольного треугольника.

Пусть катеты и гипотенуза равны

$$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$\left(a_1+2d\right)^2=a_1^2+\left(a_1+d\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a_1^2+4a_1d+4d^2=a_1^2+a_1^2+2a_1d+d^2,$$

$$a_1^2-2a_1d-3d^2=0.$$

Решим как квадратное уравнение относительно $$a_1$$:

$$D=(-2d)^2-4\cdot 1\cdot(-3d^2)=16d^2,$$

$$a_1=\frac{2d\pm 4d}{2}.$$

Получаем:

$$a_1=3d \quad \text{или} \quad a_1=-d.$$

Так как длина стороны должна быть положительной, подходит только

$$a_1=3d.$$

Следовательно, такие стороны прямоугольного треугольника могут составлять арифметическую прогрессию.

Ответ

а) нет; б) да.