Упр.711 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}xy+2x^2+2y^2=120,\\xy-x^2-y^2=-39;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^2+4xy=5,\\y^2-6xy=31.\end{cases}$$ - Докажите, что последовательность $$(x_n)$$ является возрастающей, если:
а) $$x_n=\frac{3n-2}{n+1};$$
б) $$x_n=2^n-n.$$
а) Найдём разность соседних членов последовательности:
$$x_n=\frac{3n-2}{n+1}, \qquad x_{n+1}=\frac{3(n+1)-2}{(n+1)+1}=\frac{3n+1}{n+2}.$$
$$x_{n+1}-x_n=\frac{3n+1}{n+2}-\frac{3n-2}{n+1} =\frac{(3n+1)(n+1)-(3n-2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}.$$
$$(3n+1)(n+1)=3n^2+4n+1,$$
$$(3n-2)(n+2)=3n^2+4n-4.$$
$$x_{n+1}-x_n=\frac{(3n^2+4n+1)-(3n^2+4n-4)}{(n+1)(n+2)} =\frac{5}{(n+1)(n+2)}.$$
Так как при натуральных $$n$$ знаменатель положителен, то
$$x_{n+1}-x_n>0.$$
Следовательно, последовательность возрастающая.
б) Найдём разность соседних членов:
$$x_n=2^n-n, \qquad x_{n+1}=2^{n+1}-(n+1).$$
$$x_{n+1}-x_n=\bigl(2^{n+1}-(n+1)\bigr)-\bigl(2^n-n\bigr) =2^{n+1}-2^n-1 =2^n-1.$$
При натуральных $$n$$ имеем $$2^n-1>0$$, значит
$$x_{n+1}-x_n>0.$$
Следовательно, последовательность возрастающая.
Ответ
а) возрастающая; б) возрастающая.
