Упр.711 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) x_n=(3n-2)/(n+1); б) x_n=2^n-n.

а) Найдём разность соседних членов последовательности:

$$ x_n=\frac{3n-2}{n+1}, \qquad x_{n+1}=\frac{3(n+1)-2}{(n+1)+1}=\frac{3n+1}{n+2}. $$

$$ x_{n+1}-x_n=\frac{3n+1}{n+2}-\frac{3n-2}{n+1} =\frac{(3n+1)(n+1)-(3n-2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}. $$

$$ (3n+1)(n+1)=3n^2+4n+1, $$
$$ (3n-2)(n+2)=3n^2+4n-4. $$

$$ x_{n+1}-x_n=\frac{(3n^2+4n+1)-(3n^2+4n-4)}{(n+1)(n+2)} =\frac{5}{(n+1)(n+2)}. $$

Так как при натуральных $n$ знаменатель положителен, то

$$ x_{n+1}-x_n>0. $$

Следовательно, последовательность возрастающая.

б) Найдём разность соседних членов:

$$ x_n=2^n-n, \qquad x_{n+1}=2^{n+1}-(n+1). $$

$$ x_{n+1}-x_n=\bigl(2^{n+1}-(n+1)\bigr)-\bigl(2^n-n\bigr) =2^{n+1}-2^n-1 =2^n-1. $$

При натуральных $n$ имеем $2^n-1>0$, значит

$$ x_{n+1}-x_n>0. $$

Следовательно, последовательность возрастающая.

Ответ

а) возрастающая; б) возрастающая.