Упр.71 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) f(x)=3-|x-1|; в) f(x)=8/(x^2-2x+3);
б) f(x)=(10-x)/(3+v(x-1)); г) f(x)=5/(|x-7|+1).

1. а) $$f(x)=3-|x-1|$$

   Так как $$|x-1|\ge 0,$$ то

   $$f(x)=3-|x-1|\le 3.$$

   Равенство достигается при $$|x-1|=0,$$ то есть при $$x=1.$$

   Следовательно, наибольшее значение функции равно $$3.$$

2. б) $$f(x)=\frac{10-x}{3+\sqrt{x-1}}$$

   Область определения: $$x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$

   Положим $$t=\sqrt{x-1},$$ тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2+1.$$ Получаем

   $$f(x)=\frac{10-(t^2+1)}{3+t}=\frac{9-t^2}{3+t}=\frac{(3-t)(3+t)}{3+t}=3-t.$$

   Так как $$t\ge 0,$$ то $$3-t\le 3.$$ Максимум достигается при $$t=0,$$ то есть при $$x=1.$$

   Следовательно, наибольшее значение функции равно $$3.$$

3. в) $$f(x)=\frac{8}{x^2-2x+3}$$

   Преобразуем знаменатель:

   $$x^2-2x+3=(x-1)^2+2\ge 2.$$

   Тогда

   $$f(x)=\frac{8}{x^2-2x+3}\le \frac{8}{2}=4.$$

   Равенство достигается при $$x=1.$$

   Следовательно, наибольшее значение функции равно $$4.$$

4. г) $$f(x)=\frac{5}{|x-7|+1}$$

   Так как $$|x-7|\ge 0,$$ то

   $$|x-7|+1\ge 1.$$

   Значит,

   $$f(x)=\frac{5}{|x-7|+1}\le 5.$$

   Равенство достигается при $$|x-7|=0,$$ то есть при $$x=7.$$

   Следовательно, наибольшее значение функции равно $$5.$$

Ответ

а) $$3$$ при $$x=1$$; б) $$3$$ при $$x=1$$; в) $$4$$ при $$x=1$$; г) $$5$$ при $$x=7$$.