Упр.708 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- В арифметической прогрессии $$(a_n)$$ найдите $$a_1$$ и $$d$$, если известно, что $$a_1a_2a_3=280$$, $$S_5=50$$.
- В плоскости проведено $$n$$ различных окружностей так, что каждые две из них пересекаются в двух точках и никакие три из них не имеют общей точки. Докажите, что окружности разбивают плоскость на $$n(n-1)+2$$ части.
Обозначим через $$N_n$$ число частей, на которые $$n$$ окружностей разбивают плоскость.
При $$n=1$$ имеем одну окружность, она делит плоскость на $$2$$ части:
$$N_1=2.$$
Докажем по индукции, что
$$N_n=n(n-1)+2.$$
Пусть для $$n=k$$ окружностей уже известно, что
$$N_k=k(k-1)+2.$$
Добавим ещё одну окружность. По условию она пересекает каждую из предыдущих окружностей в двух точках, а никакие три окружности не имеют общей точки. Значит, новая окружность пересекается с уже построенными $$k$$ окружностями в $$2k$$ точках, то есть разбивается на $$2k$$ дуг.
Каждая такая дуга проходит внутри одной из старых частей и делит её на две, поэтому число частей увеличивается на $$2k$$:
$$N_{k+1}=N_k+2k.$$
Подставим формулу для $$N_k$$:
$$N_{k+1}=k(k-1)+2+2k=k^2-k+2+2k=k^2+k+2.$$
С другой стороны,
$$(k+1)k+2=k^2+k+2.$$
Следовательно,
$$N_{k+1}=(k+1)k+2,$$
то есть формула верна и для $$k+1$$. Значит, для любого $$n$$
$$N_n=n(n-1)+2.$$
Ответ
Окружности разбивают плоскость на $$n(n-1)+2$$ частей.
