Упр.708 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 708. В плоскости проведено n различных окружностей так, что каждые две из них пересекаются в двух точках и никакие три из них не имеют обшей точки. Докажите, что окружности разбивают плоскость на n(n-1)+2 частей.

Обозначим через $$N_n$$ число частей, на которые $$n$$ окружностей разбивают плоскость.

При $$n=1$$ имеем одну окружность, она делит плоскость на $$2$$ части:

$$N_1=2.$$

Докажем по индукции, что

$$N_n=n(n-1)+2.$$

Пусть для $$n=k$$ окружностей уже известно, что

$$N_k=k(k-1)+2.$$

Добавим ещё одну окружность. По условию она пересекает каждую из предыдущих окружностей в двух точках, а никакие три окружности не имеют общей точки. Значит, новая окружность пересекается с уже построенными $$k$$ окружностями в $$2k$$ точках, то есть разбивается на $$2k$$ дуг.

Каждая такая дуга проходит внутри одной из старых частей и делит её на две, поэтому число частей увеличивается на $$2k$$:

$$N_{k+1}=N_k+2k.$$

Подставим формулу для $$N_k$$:

$$ N_{k+1}=k(k-1)+2+2k=k^2-k+2+2k=k^2+k+2. $$

С другой стороны,

$$ (k+1)k+2=k^2+k+2. $$

Следовательно,

$$N_{k+1}=(k+1)k+2,$$

то есть формула верна и для $$k+1$$. Значит, для любого $$n$$

$$N_n=n(n-1)+2.$$

Ответ

Окружности разбивают плоскость на $$n(n-1)+2$$ частей.