Упр.707 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 707. В плоскости проведено n различных прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что эти прямые разбивают плоскость на n(n+1)/2+1 частей.

Обозначим через $$N_n$$ число частей плоскости, на которые разбивают её $$n$$ прямых.

При $$n=1$$ получаем

$$N_1=2.$$

Теперь добавим к уже проведённым $$k$$ прямым ещё одну, $$\left(k+1\right)$$-ю. Так как никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, новая прямая пересекает все предыдущие $$k$$ прямых в разных точках. Значит, она делится этими точками на $$k+1$$ отрезков и каждый такой отрезок увеличивает число частей плоскости на 1.

Следовательно,

$$N_{k+1}=N_k+\left(k+1\right).$$

Проверим, что формула

$$N_n=\frac{n(n+1)}{2}+1$$

действительно подходит.

Для $$n=1$$:

$$\frac{1\cdot\left(1+1\right)}{2}+1=\frac{2}{2}+1=2.$$

Предположим, что для $$n=k$$ верно

$$N_k=\frac{k(k+1)}{2}+1.$$

Тогда для $$n=k+1$$ имеем

$$ N_{k+1}=N_k+\left(k+1\right) =\frac{k(k+1)}{2}+1+\left(k+1\right) $$

$$ =\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}+1 =\frac{(k+1)(k+2)}{2}+1. $$

Это и есть формула для $$n=k+1$$. Значит, по индукции для любого $$n$$ число частей плоскости равно

$$N_n=\frac{n(n+1)}{2}+1.$$

Ответ

$$\frac{n(n+1)}{2}+1$$