Упр.705 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) 15^n+6 кратно 7; в) 7^n+3n-1 кратно 9;
б) 13^n+5 кратно 6; г) 5^n-3^n+2n кратно 4.

Подробный ответ

а) Рассмотрим последовательность $$a_n=15^n+6.$$

Проверим первый член:

$$a_1=15+6=21,$$

значит, $$a_1$$ кратен $$7.$$

Пусть при $$n=k$$ число $$a_k$$ кратно $$7.$$ Тогда

$$ a_{k+1}=15^{k+1}+6=15\cdot 15^k+6=14\cdot 15^k+(15^k+6)=14\cdot 15^k+a_k. $$

Так как $$14\cdot 15^k$$ кратно $$7$$ и $$a_k$$ кратно $$7,$$ то $$a_{k+1}$$ тоже кратно $$7.$$ Следовательно, $$15^n+6$$ кратно $$7$$ при любом натуральном $$n.$$

б) Рассмотрим последовательность $$a_n=13^n+5.$$

Проверим первый член:

$$a_1=13+5=18,$$

значит, $$a_1$$ кратен $$6.$$

Пусть $$a_k$$ кратно $$6.$$ Тогда

$$ a_{k+1}=13^{k+1}+5=13\cdot 13^k+5=12\cdot 13^k+(13^k+5)=12\cdot 13^k+a_k. $$

Так как $$12\cdot 13^k$$ кратно $$6$$ и $$a_k$$ кратно $$6,$$ то $$a_{k+1}$$ кратно $$6.$$ Значит, $$13^n+5$$ кратно $$6$$ при любом натуральном $$n.$$

в) Рассмотрим последовательность $$a_n=7^n+3n-1.$$

Проверим первый член:

$$a_1=7+3-1=9,$$

значит, $$a_1$$ кратен $$9.$$

Пусть $$a_k$$ кратно $$9.$$ Тогда

$$ a_{k+1}=7^{k+1}+3(k+1)-1=7\cdot 7^k+3k+2. $$

Представим это так:

$$ a_{k+1}=7(7^k+3k-1)-18k+9=7a_k-18k+9. $$

Так как $$-18k+9=9(1-2k)$$ кратно $$9,$$ а $$7a_k$$ кратно $$9,$$ то $$a_{k+1}$$ кратно $$9.$$ Следовательно, $$7^n+3n-1$$ кратно $$9$$ при любом натуральном $$n.$$

г) Рассмотрим последовательность $$a_n=5^n-3^n+2n.$$

Проверим первый член:

$$a_1=5-3+2=4,$$

значит, $$a_1$$ кратен $$4.$$

Пусть $$a_k$$ кратно $$4.$$ Тогда

$$ a_{k+1}=5^{k+1}-3^{k+1}+2(k+1)=5\cdot 5^k-3\cdot 3^k+2k+2. $$

Преобразуем:

$$ a_{k+1}=(5^k-3^k+2k)+4\cdot 5^k-2\cdot 3^k+2 = a_k+4\cdot 5^k-2(3^k-1). $$

Число $$4\cdot 5^k$$ кратно $$4.$$ Кроме того, $$3^k-1$$ чётно, значит, $$2(3^k-1)$$ кратно $$4.$$ Следовательно, $$a_{k+1}$$ кратно $$4.$$ Значит, $$5^n-3^n+2n$$ кратно $$4$$ при любом натуральном $$n.$$