Упр.704 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

b_n=4^n+15n-1.

Докажем по индукции, что $$b_n=4^n+15n-1$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n$$.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$b_1=4^1+15\cdot 1-1=4+15-1=18=9\cdot 2.$$

Значит, $$b_1$$ делится на $$9$$.

2) Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$k$$ число $$b_k$$ делится на $$9$$, то есть $$b_k=4^k+15k-1$$ кратно $$9$$. Докажем, что тогда и $$b_{k+1}$$ делится на $$9$$:

$$ \begin{aligned} b_{k+1} &= 4^{k+1}+15(k+1)-1 \\ &= 4\cdot 4^k+15k+15-1 \\ &= 4(4^k+15k-1)-45k+18 \\ &= 4b_k-45k+18. \end{aligned} $$

Так как $$b_k$$ делится на $$9$$, то и $$4b_k$$ делится на $$9$$. Кроме того, $$45k-18=9(5k-2)$$ делится на $$9$$. Следовательно, $$b_{k+1}$$ также делится на $$9$$.

По принципу математической индукции, $$b_n$$ делится на $$9$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$b_n=4^n+15n-1$$ делится на $$9$$ для любого натурального $$n$$.