Упр.703 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) a_n=n^3+17n; б) a_n=n^3+35n.

а) Рассмотрим последовательность $$a_n=n^3+17n.$$

Докажем по индукции, что каждый её член делится на $$6$$.

При $$n=1$$ имеем:

$$a_1=1^3+17\cdot 1=18,$$

а число $$18$$ делится на $$6$$.

Пусть для некоторого $$n=k$$ число $$a_k$$ делится на $$6$$. Докажем, что тогда и $$a_{k+1}$$ делится на $$6$$:

$$ a_{k+1}=(k+1)^3+17(k+1) $$

$$ = k^3+3k^2+3k+1+17k+17 $$

$$ = (k^3+17k)+3k^2+3k+18 $$

$$ = a_k+3k(k+1)+18. $$

Так как произведение $$k(k+1)$$ чётно, то число $$3k(k+1)$$ делится на $$6$$. Число $$18$$ тоже делится на $$6$$. Следовательно, $$a_{k+1}$$ делится на $$6$$.

Значит, любой член последовательности $$a_n=n^3+17n$$ делится на $$6$$.

б) Рассмотрим последовательность $$a_n=n^3+35n.$$

При $$n=1$$ имеем:

$$a_1=1^3+35\cdot 1=36,$$

а число $$36$$ делится на $$6$$.

Пусть $$a_k$$ делится на $$6$$. Тогда

$$ a_{k+1}=(k+1)^3+35(k+1) $$

$$ = k^3+3k^2+3k+1+35k+35 $$

$$ = (k^3+35k)+3k^2+3k+36 $$

$$ = a_k+3k(k+1)+36. $$

Так как $$k(k+1)$$ чётно, то $$3k(k+1)$$ делится на $$6$$, и число $$36$$ также делится на $$6$$. Значит, $$a_{k+1}$$ делится на $$6$$.

Следовательно, любой член последовательности $$a_n=n^3+35n$$ делится на $$6$$.

Ответ

Во всех случаях $$a_n$$ делится на $$6$$.