Упр.702 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 702. Докажите, что 1/v1+1/v2+1/v3+…+1/vn > vn при любом n, большем 1.

Докажем неравенство по индукции:

$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}>\sqrt n,\quad n>1.$$

1) База индукции. При $$n=2$$ имеем

$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}-\sqrt2=1+\frac1{\sqrt2}-\sqrt2=1+\frac{1-2}{\sqrt2}=1-\frac1{\sqrt2}>0.$$

Значит, неравенство верно при $$n=2$$.

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt k}>\sqrt k.$$

Докажем, что тогда

$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}.$$

Действительно, из предположения индукции получаем

$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}.$$

Остаётся показать, что

$$\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}.$$

Перенесём $$\sqrt{k+1}$$ влево:

$$\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}-\sqrt{k+1}=\frac{\sqrt{k(k+1)}+1-(k+1)}{\sqrt{k+1}}.$$

Так как

$$\sqrt{k(k+1)}+1-(k+1)\ge k+1+1-(k+1)=0,$$

то

$$\sqrt k+\frac1{\sqrt{k+1}}-\sqrt{k+1}>0.$$

Следовательно,

$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}.$$

Итак, неравенство верно для любого $$n>1$$.

Ответ

$$\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}>\sqrt n,\quad n>1.$$