Упр.701 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 2^n > 2n+1, если n?N, n?3;
б) 2^n > n^2, если n?N, n?5.

а) Докажем неравенство $$2^n>2n+1$$ при $$n\ge 3$$ методом математической индукции.

При $$n=3$$:

$$2^3=8,\qquad 2\cdot 3+1=7,$$

значит, $$2^3>2\cdot 3+1$$.

Пусть для некоторого $$n=k\ge 3$$ верно $$2^k>2k+1$$. Докажем, что тогда

$$2^{k+1}>2(k+1)+1.$$

Имеем:

$$ 2^{k+1}-(2(k+1)+1)=2\cdot 2^k-(2k+3). $$

Так как $$2^k>2k+1$$, то

$$ 2\cdot 2^k>2(2k+1)=4k+2. $$

Следовательно,

$$ 2^{k+1}-(2k+3)>4k+2-(2k+3)=2k-1. $$

При $$k\ge 3$$ имеем $$2k-1>0$$, значит,

$$2^{k+1}>2(k+1)+1.$$

Итак, неравенство верно для всех $$n\ge 3$$.

б) Докажем неравенство $$2^n>n^2$$ при $$n\ge 5$$ методом математической индукции.

При $$n=5$$:

$$2^5=32,\qquad 5^2=25,$$

значит, $$2^5>5^2$$.

Пусть для некоторого $$n=k\ge 5$$ верно $$2^k>k^2$$. Докажем, что тогда

$$2^{k+1}>(k+1)^2.$$

Имеем:

$$ 2^{k+1}-(k+1)^2=2\cdot 2^k-(k+1)^2. $$

Так как $$2^k>k^2$$, то

$$ 2\cdot 2^k>2k^2. $$

Следовательно,

$$ 2^{k+1}-(k+1)^2>2k^2-(k+1)^2. $$

Вычислим:

$$ 2k^2-(k+1)^2=2k^2-(k^2+2k+1)=k^2-2k-1=(k-1)^2-2. $$

При $$k\ge 5$$ получаем $$k^2-2k-1>0$$, значит,

$$2^{k+1}>(k+1)^2.$$

Следовательно, неравенство верно для всех $$n\ge 5$$.

Ответ

а) $$2^n>2n+1$$ при $$n\ge 3$$; б) $$2^n>n^2$$ при $$n\ge 5$$.