Упр.700 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 700. Даны последовательности (c_n), где c_n=2^(n+2), где x_n=2n+5. Сравните c_1 и x_1, x_2 и x_2, c_3 и x_3, c_4 и x_4. Сформулируйте утверждение и проведите его доказательство.

Подробный ответ

Вычислим первые четыре члена каждой последовательности:

$$c_1=2^{1+2}=2^3=8,\quad x_1=2\cdot 1+5=7;$$
$$c_2=2^{2+2}=2^4=16,\quad x_2=2\cdot 2+5=9;$$
$$c_3=2^{3+2}=2^5=32,\quad x_3=2\cdot 3+5=11;$$
$$c_4=2^{4+2}=2^6=64,\quad x_4=2\cdot 4+5=13.$$

Во всех случаях получаем:

$$c_1>x_1,\quad c_2>x_2,\quad c_3>x_3,\quad c_4>x_4.$$

Сформулируем утверждение: для любого $$n\in \mathbb{N}$$ выполняется $$c_n>x_n$$.

Докажем это по индукции.

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$c_1=8>7=x_1.$$

2. Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$k\in \mathbb{N}$$ верно $$c_k>x_k$$. Докажем, что тогда $$c_{k+1}>x_{k+1}$$.

$$c_{k+1}-x_{k+1}=2^{k+3}-(2k+7).$$

Так как $$2^{k+3}=2\cdot 2^{k+2}$$, а при $$k\ge 1$$ число $$2^{k+2}$$ больше соответствующего линейного выражения, то разность положительна. Проверим напрямую:

$$2^{k+3}-(2k+7)\ge 2^{4}-(2k+7)$$

для всех $$k\ge 1$$, и уже при $$k=1$$ получаем положительное значение. Следовательно, $$c_{k+1}>x_{k+1}$$.

Значит, по индукции для всех натуральных $$n$$ выполняется $$c_n>x_n$$.