Упр.70 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 70. Докажите, что функция y=6/(1+1/x^2) ограниченная, но не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Преобразуем заданную функцию:

$$y=\frac{6}{1+\frac{1}{x^2}}.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то $$\frac{1}{x^2}>0$$, значит

$$1+\frac{1}{x^2}>1.$$

Тогда

$$0<\frac{6}{1+\frac{1}{x^2}}<6,$$

то есть

$$0<y<6.$$

Следовательно, функция ограничена: снизу числом $$0$$, сверху числом $$6$$.

Покажем, что наибольшего и наименьшего значений она не имеет.

При $$x\to 0$$ имеем $$\frac{1}{x^2}\to +\infty$$, поэтому

$$y=\frac{6}{1+\frac{1}{x^2}}\to 0,$$

но значение $$y=0$$ не достигается.

При $$|x|\to \infty$$ имеем $$\frac{1}{x^2}\to 0,$$ поэтому

$$y=\frac{6}{1+\frac{1}{x^2}}\to 6,$$

но значение $$y=6$$ также не достигается.

Значит, функция ограничена, но не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Ответ

Функция ограничена: $$0<y<6$$. Наибольшего и наименьшего значений не имеет.