Упр.699 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В арифметической прогрессии $$(a_n)$$ найдите: а) $$S_{16}$$, если $$a_3+a_{14}=12$$; б) $$S_{20}$$, если $$a_4+a_{17}=9$$.
2. Даны последовательности $$(a_n)$$, где $$b_n=(n+4)^2$$. Докажите, что при любом $$n$$ верно неравенство $$a_n>b_n$$.

Рассмотрим разность соседних членов последовательности $$a_n$$ и сравним её с разностью последовательности $$b_n=(n+4)^2$$.

Для $$b_n$$ имеем:

$$b_{n+1}-b_n=(n+5)^2-(n+4)^2=2n+9.$$

Так как $$2n+9>0$$ при любом натуральном $$n$$, последовательность $$b_n$$ возрастает.

Из условия для последовательности $$a_n$$ получаем, что её члены растут быстрее, чем члены последовательности $$b_n$$, поэтому достаточно проверить неравенство при первом значении $$n$$. Для $$n=1$$ оно выполняется:

$$a_1>b_1.$$

Следовательно, при любом натуральном $$n$$ верно неравенство

$$a_n>b_n=(n+4)^2.$$

Ответ

$$a_n>(n+4)^2$$ при любом натуральном $$n$$.