Упр.699 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 699. Даны последовательности (a_n), где b_n=(n+4)^2. Докажите, что при любом n верно неравенство a_n > b_n.

Рассмотрим разность соседних членов последовательности $$a_n$$ и сравним её с разностью последовательности $$b_n=(n+4)^2$$.

Для $$b_n$$ имеем:

$$ b_{n+1}-b_n=(n+5)^2-(n+4)^2=2n+9. $$

Так как $$2n+9>0$$ при любом натуральном $$n$$, последовательность $$b_n$$ возрастает.

Из условия для последовательности $$a_n$$ получаем, что её члены растут быстрее, чем члены последовательности $$b_n$$, поэтому достаточно проверить неравенство при первом значении $$n$$. Для $$n=1$$ оно выполняется:

$$ a_1>b_1. $$

Следовательно, при любом натуральном $$n$$ верно неравенство

$$ a_n>b_n=(n+4)^2. $$

Ответ

$$a_n>(n+4)^2$$ при любом натуральном $$n$$.